空间在普朗克长度是不是连续的？
好问题！看到之前有答者说普朗克长度是最小的长度单位，甚至说一切长度是这个长度的整数倍，这是不正确的。科学上正确的说法是：我们已知的物理理论，到了普朗克长度这样小的尺度的时候，就不适用了。普朗克长度是10^-35米，现代物理理论不适用的尺度，就在这个量级，是个模糊的界限。接近这样的尺度的时候，一切都是未知。
那么在这个尺度上的宇宙到底是什么样子？有很多未完善、未经证实的理论，主流理论倾向于认为空间还是连续的。比如流行的超弦理论就认为时空是10维的，有一个大尺度的，我们在宏观世界看得到的4维时空，还有一个普朗克长度左右的6维卡-丘空间。有兴趣去读丘成桐教授写的科普文章。也有一些理论，认为空间是离散的，一个个点组成的。
李政道先生在上世纪80年代就提出过这样的理论。近些年来，旅美中国物理学家文小刚也在做这样的理论。他把时空类比成固态的物质，宏观上是连续的，微观上是由一个个的原子（不连续的点）组成。很多固体物理现象有助于理解时空的属性。他也有过很多文章和采访，有兴趣的读者可以找来看看。题主的后一半问题更有趣：如果空间是离散的点组成，那么宇宙膨胀时，是点增多，还是点的距离变大呢？这个问题就不容易回答了。
为什么说，物体小于普朗克长度就没意义了？
答：普朗克长度是我们宇宙中，有意义的最小可测长度，大约等于1.6*10^-35米。量子力学描述，一切事物都具有离散型，包括时间、空间和能量。其中，普朗克长度是我们宇宙中有意义的最小长度，由三个物理学常数组成：光速c，普朗克常数h（约化普朗克常数=h/(2π) ）、以及万有引力常数G。光速穿越普朗克长度所需的时间叫做普朗克时间，是我们宇宙中有意义的最短时间，大约5.4*10^-44秒。
我们可以这么理解这两个概念：普朗克时间当今物理学，建立在量子力学和相对论之上，在量子力学中，物质受不确定性原理的影响；在相对论中，物质受光速不变原理的限制。对于一个物体，如果尺度小到一定程度，那么该物体动量的不确定性就会增大，导致物体的速度超过光速，这是相对论禁止的；于是物体尺度有一个极限，这个极限就是普朗克长度，这也是普朗克尺度中包含普朗克常数和光速的原因。
普朗克时间对于时间的测量，也会受能量时间的不确定性影响，当时间间隔逐渐缩小时，需要的能量也越大，当能量大到一定程度后，就会形成一个相对论奇点（或者说黑洞），导致我们的测量失效，所以时间也是有最小值的。这个最短时间既是普朗克时间，也正是光速穿过最小尺度的时间。普朗克长度和普朗克时间，基于量子力学和相对论推导出来，小于该尺度的范围内，量子力学和相对论都将失效，所以是没有意义的。
我们能观测到的最短长度是多少？距离普朗克长度差多少？
我们能观测到的最短长度是多少？距离普朗克长度差多少？测量长度一直以来都是最常见不过的操作了，无论是自驾游还是乘坐飞机或者高铁，首先我们都会有个大概的距离概念，比如距离目的地大概还有多少千米，当然地面上的距离和空中的距离稍稍有些区别，测量方法也一样，但这些宏观的距离中比如车轮周长测距，或者激光测距，或者根据地理经纬度计算出综合距离！但需要用显微镜放大下的世界又该如何测量长度呢？光学显微镜测量长度熟悉精细结构制造行业的朋友肯定知道一种设备，叫做二次元测量仪，取了个二次元世界的名字，但却和大家了解的二次元世界没啥关系，它是用来测量细微结构的尺寸的，比如一个金属冲压件表面损伤的长度，或者PCB板上焊锡气泡的直径，甚至细微裂痕的长度与宽度！测量厚度或者直径，我们可以用游标卡尺和千分尺，但这种需要显微镜才能看到的结构，两种常用工具就无能为力了！所以带着标尺的二次元测量仪应运而生，原理也很简单，放大倍数加上行程，即可计算出两点之间距离！那么测量更精细的尺寸就很简单了，我们只要无限放大倍数即可，只要看得清我们就量得出，事实上也确实如此，但有一个问题，显微镜也有个极限分辨率，我们知道放大倍率越高就会越暗，但即使在保证无限强光的基础上，常规光学最高的分辨率只能达到光波长的一半，那么这台显微镜极限分辨率就知道了，做多也不过紫光的400nm的一半，也就是200纳米！200纳米是多少？估计大家都不太有概念，但这个级别远不到原子就是了！原子电子原子核长度测量理论上来看原子的半径很好测量，不过就是一个球体么，即使不能用可见光，那么能对紫外线感光甚至X光感光的的设备来对原子成像不久好了么？但事实上还真有一个问题，因为原子并非是汤姆逊的葡萄干布丁模型，而是薛定谔的电子云模型！根据玻尔的概率论，电子是随机出现在某处的，根据海森堡不确定性理论，电子位置和动量无法同时测定，再根据薛定谔的波动方程中解的模平方，如果用三维坐标以图形表示的话，就是电子云！电子所以原子的直径到哪里为止？这是一个问题！因此根据不同的方式得到的原子半径将完全不一样，我们来看看几种方式：玻尔原子半径：玻尔原子的有轨电子模型是错误的，但他的电子能级是正确的，因此以可以根据电子能级计算最外层轨道的直径，因此这个直径是计算出来的。
原子的共价半径：形成共价键的原子核之间距离一半即为共价半径，化学键的可以通过X射线，电子显微镜等来测量，再转动光谱计算出分子转动惯量，从而计算出共价键长度，最终确定原子的共价半径！这个方法算是测量 计算！其他方式就不一一介绍了，除了这些外还有金属键半径、离子半径，这些方式跟共价半径类似，还有范德华半径等，但有一点必须要注意的是，无论哪种都需要X射线甚至电子显微镜的参与！我们来说说这个问题：X射线比可见光波长更低，因此理论上它能看到更细的结构，但即使X射线也是有极限的，更低的就只能是电子显微镜了，大家都知道量子力学中互补原理的波粒二象性，电子能级越高那么波长越短，因此波长可以通过电子的能级就能简单搞定！因此在原子级别，基本就是电子隧道扫描显微镜的天下了！原子核的测量其实原子核测量比原子测量早不知道多久完成，因为1909年卢瑟福和学生做的α散射就大概知道原子核的半径了，可以通过α粒子的散射角度求得，也许卢瑟福用的可能就是全球第一台粒子加速器撞击实验，只不过卢瑟福用的是不需要加速α粒子而已，这也预示着一个全新的未来，原子核尺度的世界，必须要用加速后的粒子能量去撞击才能获取了！但在质子以下我们就没法知道比如夸克的尺寸了，因为夸克紧闭无法通过撞击使得夸克从质子或者中子中解放出来，但却可以通过撞击质子获得的信息发现内部的结构。
最小的极限长度是多长？上文我们说了测量原理，下面我们将测量所得的结果罗列下，看看我们达到了什么水准：原子大小约为：10^-10米。质子和中子大小约为：10^-15米。电子的大小约为：10^-19米基本上就是我们测量的极限了，但普朗克长度比这个小多了，它是长度不可分割的最小单位，约为：1.61624（12）×10^-35米，当然电子比它不知道大了XXXXXXX亿倍，当然有热心的朋友会友情提醒，德布罗意波波长会小于普朗克长度！在电子的尺度下，德布罗意波是一个必须考虑的问题，但到了宏观尺度下，根据德布罗意的波长计算公式，波长会变得极小，物体的波动性几乎可以忽略，所以我们不用担心宏观物体的海森堡不确定性，因为它的波动极小，我们测量不会有偶任何问题！。
德布罗意的物质波的频率会小于普朗克长度，到底是谁错了？
先改一下题目错误，应该是“物质波的波长会小于普朗克长度”。先说一下物质波（德布罗意波）路易.德布罗意是一个真正的贵7代，是第七代德布罗意公爵。上一代是他的哥哥（也是物理学家）。这家伙从小就绝顶聪明，学啥会啥。读完中学后不知道学啥专业，就跑去学了历史。历史学了半拉子，看了庞加莱写的两本科学著作后，发现自己爱上了物理学。
然后就转去学习物理，期间还当了两年小兵，参加了第一次世界大战。回来后继续读物理学专业。图：路易.德布罗意1924年，在光具有波粒二象性的启发下，德布罗意认为物质也具有这样的属性。于是他在博士论文中推导出了物质波的公式：这个理论简直是太超前，几乎没人相信这个理论。他的导师朗之万也觉得太离经叛道了，于是就将论文寄给爱因斯坦看。
爱因斯坦因为很忙，草草看了一下，给出了肯定的结论：“他已经掀起了面纱的一角”！有了爱因斯坦的支持，这一理论传遍了物理学界。德布罗意也得到了他想要的博士学位。在三年后，这一理论就得到实验验证。而且启发了 薛定谔写出了薛定谔方程。这一理论说明了所有的物质都具有波粒二象性，而且宏观物体同样具有波动性。例如：一粒1千克的炮弹以每秒1000米的速度飞行（为了计算方便随便设置的数字，军事迷就不要杠了）。
它的物质波波长就是：6.626×10∧-37米。这比原子的直径10∧-15米还小，甚至比普朗克长度1.616×10∧-35还小。这里再说一下普朗克长度的意义普朗克长度是理论上能够探测的尺度下限。我们探测物体必须要发射一束电磁波到物体上，它会反射回来，并被探测到。这就像我们要看见一个物体时，物体反射的光进入我们的眼睛，我们才能看见它一样。
图：普朗克物体太小时，必须发射波长更短的电磁波去探测它。波长就象卡尺一样。但波长越短，它所含的能量就越高。这时，如果需要探测一个极小尺度的粒子，就需要发射一束波长极短的电磁波去探测。这个能量会高到撞击到微小粒子时，粒子会成为一个量子黑洞。探测就失败了～黑洞会吞噬掉光子。这个极小尺度就是普朗克长度：1.616×10∧-35米。
圆周率能算尽吗？根据普朗克长度，长度不能无限分割，那圆的周长也是这样吗？
这个问题很有意思，先说第一个问题的答案：圆周率是算不尽的，并且与几进制无关。圆周率的来历及特征介绍圆周率π在数学上叫无限不循环小数，又叫无理数，这样的数有无限个，像我们熟悉的√2、√3、√5等等都是无理数，它们的位数都是无限的。最初是因为圆使我们认识了π，π是圆周长与直径的比值，这个比值是个除不尽的常数。
人们为了得到精确的数值，用不同的方法进行计算，最早在古代人们用割圆术，即作圆的内接多边形和外接多边形，然后一直把边数翻倍，使得边周长不断逼近圆周长，以此求得的圆周率的上下限无限接近圆周率的精确值。不要把π看的太神秘，每个无理数的背后都对应着某些几何图形，比如说正方形的对角线的长度就是其边长的√2倍，如果取边长为1，那对角线的长度就为√2。
再比如说60度直角三角形中，60度对的直角边与另一个直角边的比值就为√3，等等。这是因为无理数和有理数一样，是非常普遍的。圆周率π唯一特殊的地方就是它还是一个超越数。所谓超越数就是π不可能是任何整系数多项式的根。圆周率的超越性否定了“化圆为方”这古老尺规作图问题的可能性，因所有尺规作图法只能得出代数数，而得不出超越数。
这就是我们将要回答的第二个问题涉及的问题。关于第二个问题和数学上的一些特征在答题区我发现好些人把第二个问题理解成周长是否像圆周率那样也是无理数而算不尽的问题，实际上是理解错了，题主的意思应该是：因为圆周率是通过不断割圆的周长来取得精确值的，但普朗克长度是最小的长度，不能再对它进行分割，那割圆术把圆周长如割到小于普朗克长度时是否也不能再割？德国科学家普朗克――量子力学创始人之一普朗克长度是在量子力学中认为的物理现实中最小长度单位，其大小为1.616229（38）x10^-35米，量子力学认为任何小于普朗克长度的距离都是没有意义的。
因此它们认为物质不能无限可分。不过无论物质到底能不能无限可分，在数学上都是能够无限分下去的。数学上无限的东西太多了，也允许无限的存在，比如说整数是无限的、自然数是无限的、小数是无限的、奇数是无限的等等等等，这么多的无限是因为数学是对现实的抽象，所谓的点线面体不过是对现实事物的概念化，在数学中一个点可以无限小、一条线由无数个点组成，无数条线组成一个面、这个面无限薄，无限个面组成一个立体，但在现实中是不存在无限小的点、没有厚度（无限薄）的面，因此数学和现实不是一回事儿。
第二个问题的解答一，那圆的周长在现实中没法分下去，这是因为：1，割圆术在实践上越来越难，几何法时期早已过去。自从古希腊的阿基米德开始，到我国公元263年的刘徽，用割圆术到了3072边形，圆周率精确到小数点后三位，刘徽说“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”包含了求极限的思想。
再到南北朝的祖冲之精确到小数点后7位，最后直到1610年德国数学家鲁道夫计算到小数点后35位止，几何法越来越难，用不着到普朗克长度，在实践上也无法操作，每增加一倍边数，计算量就是以前所有工作的两倍。2，普朗克长度的限制。即使在实践上能够操作，但边长长度真到了普朗克长度，如果真像量子力学认为的，在实践中没有小于普朗克长度的东西，到了那时自然也就无法分下去。
3，超越数的特点数学不但有无限，还有极限，像微积分就是极限的体现，什么化曲为直、化圆为方、曲直转化、不变代变，什么积分是微分的无限积累，还有在割圆术中刘徽的极限思想，这些思想当然都超越了普朗克长度的限制，但是圆周率π却是个超越数，上面说过圆周率的超越性否定了“化圆为方”这古老尺规作图问题的可能性，因所有尺规作图法只能得出代数数，而得不出超越数。
也就是说刘徽“化圆为方”的极限思想和他的尺规作图方法是不适用于无限分割圆周长的。二，π在数学上的分割或计算根本不理会普朗克长度前面说过，数学是抽象化的，它才不管什么普朗克长度限制来。在分割圆求圆周率的问题上，十七世纪以后人们用分析法来求π，一般用无穷级数或无穷连乘积求π，梅钦（英国数学家梅钦1706年推出第一个公式）类公式，五花八门，但这种方法虽然摆脱割圆法的繁复计算，但仍属人工计算，到1948年英国的弗格森和美国的伦奇共同发表了π小数点后808位小数值，这是人工计算的最高纪录。
1949年计算机的出现使π值计算进入突飞猛进地步，第一台电脑只用了70个小时就把π值计算到了2037位，以后纪录不断被刷新，计算公式也不断更新，2011年日本人近藤茂利利用家中电脑和云计算把π计算到了10万亿位。刚刚2019年3月14日（国际圆周率日）谷歌日本女员工Emma Haruka Lwao将圆周率π算到31万亿位。
虽然离普朗克长度对应的位数还有几个数量级，但将来肯定会轻松超越。普朗克长度是为呼应量子力学的量子化而出现的，它对应的是普朗克质量的黑洞所对应的史瓦西半径，与康普顿波长相当，它主要是在测量方面的影响，与纯抽象的数学运算无关。总之在数学上圆的周长可以无限分割，而不必考虑普朗克长度，也不必考虑超越数限制，因为你永远不会得到圆周率π的精确值，又何必在乎能不能画出精确圆来，π的位数已经达到几十万亿位了，这个精度足够了，早已超越最精确的误差。
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