实数的定义，实数的定义是

1，实数的定义是

将有限小数和无限小数统称为实数

（-无穷，+无穷) 或 x∈R

实数的定义是

2，实数的概念是什么

实数是有理数和无理数的总称。数学上，实数定义为与数轴上点相对应的数。实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。实数和虚数共同构成复数。实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类。实数集通常用黑正体字母 R 表示。R表示n维实数空间。实数是不可数的。实数是实数理论的核心研究对象。所有实数的集合则可称为实数系或实数连续统。任何一个完备的阿基米德有序域均可称为实数系。在保序同构意义下它是唯一的，常用R表示。由于R是定义了算数运算的运算系统，故有实数系这个名称。扩展资料：实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、乘方等，对非负数（即正数和0）还可以进行开方运算。实数加、减、乘、除（除数不为零）、平方后结果还是实数。任何实数都可以开奇次方，结果仍是实数，只有非负实数，才能开偶次方其结果还是实数。整数和小数的集合也是实数，而整数和分数统称有理数，小数分为有限小数，无限循环小数，无限不循环小数（即无理数），其中有限小数和无限循环小数均能化为分数，所以小数即为分数和无理数的集合，加上整数，即为整数-分数-无理数，也就是有理数-无理数，即实数。

实数的概念是什么

3，实数包括什么

实数，是有理数和无理数的总称。数学上，实数定义为与数轴上的点相对应的数。实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。实数和虚数共同构成复数。实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类。实数集通常用黑正体字母 R 表示。R表示n 维实数空间。实数是不可数的。实数是实数理论的核心研究对象。所有实数的集合则可称为实数系（real number system）或实数连续统。任何一个完备的阿基米德有序域均可称为实数系。在保序同构意义下它是惟一的，常用R表示。由于R是定义了算数运算的运算系统，故有实数系这个名称。实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后 n 位，n为正整数）。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。

实数包括什么

4，什么是实数

1. Dedekind切割大多数数学分析教材上都有，你自己去看吧，要理解的话就是 1)有理数的Dedekind切割不可能和有理数建立一一对应关系，从而定义出了实数。 2)实数的Dedekind切割和实数可以建立一一对应关系，这个就是Dedekind定理。关于Cauchy序列，一般数学分析教材上没有利用Cauchy序列定义实数的方法，我就简单写一下：记有理数域上的Cauchy序列全体为X，如果{A_n}和{B_n}满足{An-Bn}的极限是0，那么称{A_n}和{B_n}等价，或者直接写成{A_n}={B_n}。那么X在上述等价关系下的商集就定义成实数集。 Cauchy序列的收敛性称为完备性，你学过泛函分析之后就会有比较深入的理解。 2. f(x+y)=f(x)+f(y)的不连续解可以用Hamel基来构造，把实数看成有理数域上的线性空间就可以了。不过这一构造依赖于选择公理。要理解的话就这样看：从整数到有理数都可以导出线性关系是因为整数对除法的不封闭性，而有理数已经构成域了，所以在有限步四则运算下不可能得到无理数，也就无法将这一线性关系继续推广下去。 3. 无穷小量是变量！所以不存在你说的这种表示。 4. 复数是在解一元三次方程的时候最早引入的，一元三次方程即使三个根都是实根，在求解的时候也需要用到复数。复数的意义：复数对于很多运算的封闭性表明复数域是一个相当完美的集合。如果你学过复分析的话也会看到复变函数具有很奇特的性质。现实世界的很多东西需要用复数来描述，这一点相当重要。如果你觉得复数没什么意义，那么我也可以说无理数没什么意义，大不了用有理数近似一下就行了，误差可以小于任意指定的正数。

5，实数的概念

实数系(real number system)亦称实数连续统.即所有实数的集合.任何一个完备的阿基米德有序域均可称为实数系.在保序同构意义下它是惟一的，常用R表示.由于R是定义了算术运算的运算系统，故有实数系这个名称。实数，是有理数和无理数的总称。数学上，实数定义为与数轴上的实数，点相对应的数。实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。实数和虚数共同构成复数。实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类。实数集通常用黑正体字母 R 表示。R表示n维实数空间。实数是不可数的。实数是实数理论的核心研究对象。所有实数的集合则可称为实数系（real number system）或实数连续统。任何一个完备的阿基米德有序域均可称为实数系。在保序同构意义下它是惟一的，常用R表示。由于R是定义了算数运算的运算系统，故有实数系这个名称。实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后 n 位，n为正整数）。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。

实数包括有理数和无理数。其中无理数就是无限不循环小数，有理数就包括整数,分数。　　数学上，实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。本来实数仅称作数，后来引入了虚数概念，原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”。　　实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，或正数，负数和零三类。实数集合通常用字母 r 或 r^n 表示。而 r^n 表示 n 维实数空间。实数是不可数的。实数是实分析的核心研究对象。　　实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后 n 位，n 为正整数）。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。　　①相反数（只有符号不同的两个数，我们就说其中一个是另一个的相反数）实数a的相反数是-a　　②绝对值（在数轴上一个数所对应的点与原点0的距离）实数a的绝对值是：│a│=①a为正数时，|a|=a　　②a为0时， |a|=0　　③a为负数时，|a|=-a　　③倒数（两个实数的乘积是1，则这两个数互为倒数）实数a的倒数是：1/a （a≠0）

6，怎么定义实数

有实际意义，是我们在计算或解方程中遇到的一些实际存在的数。他们是可以用数轴上的点来表示的数。有理数和无理数统称实数。实数是相对于虚数的概念, 是一种能和数轴上的点有一对一的对应关系的数。数学上，实数直观地定义为和数线上的点一一对应的数。本来实数只唤作数，后来引入了虚数概念，原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”。实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，或正数，负数和零三类。实数集合通常用字母 r 或 \bbb{r} 表示。而 rn 表示 n 维实数空间。实数是不可数的。实数是实分析的核心研究对象。实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后 n 位，n 为正整数）。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。

最土的就是：实数就是无限小数。或者用戴德金分划来定义：把有理数集Q分成两个非空集合A，B，使A∪B=Q，且对于任意的a∈A，b∈B，都有a

由有理数集怎么生成实数集呢?把所有由有关有理数的极限(即Cauthy列)补充进去,把"洞"(无理数)填满就可以了.而"有理数集上定义的0，1的二值单调减少函数"不就是对某些有理数取了个极限嘛!打个比方,要对应根号2,就把小于根号2的有理数对应到1,把大于根号2的有理数对应到0,这样不就定义了了一个"有理数集上定义的0，1的二值单调减少函数"?而这个函数对应的值就是根号2啊. 终于有人肯研究这样的问题了!加油加油加油啊!(回忆当年自己对数学的痛苦挣扎中…) 回答补充:你所说的定义方法是由一个函数族(即函数的集合)来对应实数.每一个函数对应一个实数.关键是:!!! 定义在"有理数集上的0，1的二值单调减少函数"正好对应一个有理数列的极限这点你想得通么? 那么这个有理数列的极限就是一个Cauthy列,从而是一个实数. 具体一点说,一个满足你要求的函数,即"有理数集上定义的0，1的二值单调减少函数"如何对应一个实数呢?这个函数一定在某些有理数上大于1,某些有理数上小于1.且前后的有理数有一个分界点,这个点就是所对应的实数. 假如你要得到一个对应根号2的函数,就把这个函数在大于根号2的有理数上定义为0,在小于根号2的有理数上定义为1.就得到与之对应的函数. 以上两段分别介绍了从一个实数到一个函数,和一个函数到一个实数的对应关系.应该明白了吧.再不懂加我QQ306986755.但限于物质条件原因,可能不经常上,若再有问题,可以继续问题补充.或发邮件给我吧rgshaoshao@sina.com. 顺便问一句,你是数学系的么?我是数学系的,据我所知,大多数学校连数学系都学不到这么深的. 实数究竟是个什么东西,你甚至可以自己定义.数轴上的点也是一种定义方法,关键是要满足:是一个集合,且具有实数公认应该具有的性质!

不用那么复杂。就是可以表示在数轴上所有的数就是实数。有理数和无理数统称为实数。有理数就是有限的数，无理数就是无限的数

实数, 是一种能和数轴上的点有一对一的对应关系的数。本来实数只唤作数，后来引入的虚数概念，原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”。实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，或正数，负数和零。实数集通常用字母R或\Bbb表示。而用 Rn 来代表 n 维实数空间 (n-dimensional real space)。实数可以用来测量连续的量的。实数是不可数的。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列(可以是循环的，也可以是非循环的)。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数(保留小数点后n位，n为正整数)。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数(floating point numbe）

实数的定义实数理论的核心问题是对无理数的认识，早在19世纪前期，柯西就已经定义了无理数。他在《分析教程》中，把无理数定义为收敛的有理数数列的极限：如果存在一个数和一个有理数数列，使得，那么就是一个无理数。例如，纳皮儿（Napier.J）常数就是有理数基本列收敛的结果。但是，这个定义在逻辑上有问题。也就是有理数列并不一定收敛于一个无理数。 19世纪60年代末期以后，维尔斯特拉斯，康托，梅雷，戴德金等人分别给出了无理数的定义。他们都是以有理数为基础，引出了无理数，从而建立了实数理论。在所有这些人的工作中，戴德金的实数理论是最完整的，出于对直线连续性的考虑，采用经典的集合理论，他用有理数分割理论定义了无理数，从而定义了实数理论。康托和戴德金大致同时提出了这个假设，所以这个假设被称为“康托-戴德金”公理。这个假设认为，直线上的有理数是不连续的，那么一定还有另外一些“数”来填补直线，才能使得直线是连续的。如何把这些“数”表示出来，戴德金用对全体有理数的一个“分割（等价类）”来定义了无理数，而康托则是用理数序列定义的实数。1．1 戴德金方法戴德金方法称为戴德金分割，是将有理数的集合分成两个非空不相交的子集A与B，使得A中的每一个元素小于B中的每一个元素。戴德金把这种划分定义为是对有理数的一个分割，记为（A，B）。因此，戴德金就把一切实数组成的集合R定义为有理数集的一切分割，而一个实数a就是一个分割（A，B）。在这一定义中，由一个给定的有理数r产生的两个实质上等价的分割被看成是同一的。戴德金方法定义的实数的确比较晦涩难懂。其实通俗一点来说，这个方法就是认为直线没有被有理数填满，还有“空隙”存在，那么这个分割就是在数轴上切一刀，把现有的有理数分成两部分，如果这一刀恰好切在了一个有理数上，那么这个分割就是一个有理数，反之，就是一个无理数。

7，实数的定义

实数编辑实数，是有理数和无理数的总称。数学上，实数定义为与数轴上的点相对应的数。实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。实数和虚数共同构成复数。实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类。实数集通常用黑正体字母 R 表示。R表示n 维实数空间。实数是不可数的。实数是实数理论的核心研究对象。所有实数的集合则可称为实数系（real number system）或实数连续统。任何一个完备的阿基米德有序域均可称为实数系。在保序同构意义下它是惟一的，常用R表示。由于R是定义了算数运算的运算系统，故有实数系这个名称。实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后 n 位，n为正整数）。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。中文名实数外文名 real number 别称有理数和无理数的总称表达式 R 提出者德国数学家康托尔提出时间 1871年应用学科数学包含数有理数和无理数目录 1 历史 2 几何 3 性质历史编辑在公元前500年左右，以毕达哥拉斯为首的希腊数学家们认识到有理数在几何上不能满足需要，但毕达哥拉斯本身并不承认无理数的存在。直到17世纪，实数才在欧洲被广泛接受。18世纪，微积分学在实数的基础上发展起来。1871年，德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义。根据日常经验，有理数集在数轴上似乎是“稠密”的，于是古人一直认为用有理数即能满足测量上的实际需要。以边长为1厘米的正方形为例，其对角线有多长？在规定的精度下（比如误差小于0.001厘米），总可以用有理数来表示足够精确的测量结果（比如1.414厘米）。但是，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家发现，只使用有理数无法完全精确地表示这条对角线的长度，这彻底地打击了他们的数学理念；他们原以为：任何两条线段（的长度）的比，可以用自然数的比来表示。正因如此，毕达哥拉斯本人甚至有“万物皆数”的信念，这里的数是指自然数（1 , 2 , 3 ，...），而由自然数的比就得到所有正有理数，而有理数集存在“缝隙”这一事实，对当时很多数学家来说可谓极大的打击；见第一次数学危机。从古希腊一直到17世纪，数学家们才慢慢接受无理数的存在，并把它和有理数平等地看作数；后来有虚数概念的引入，为加以区别而称作“实数”，意即“实在的数”。在当时，尽管虚数已经出现并广为使用，实数的严格定义却仍然是个难题，以至函数、极限和收敛性的概念都被定义清楚之后，才由十九世纪末的戴德金、康托等人对实数进行了严格处理。几何编辑从有理数构造实数实数可以用通过收敛于一个唯一实数的十进制或二进制展开。如 {3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,…} 所定义的序列的方式而构造为有理数的补全。实数可以不同方式从有理数构造出来。这里给出其中一种，其他方法请详见实数的构造。公理的方法设 R 是所有实数的集合，则： Ⅰ 集合R 是一个域：可以作加、减、乘、除运算，且有如交换律，结合律等常见性质。 Ⅱ 域 R 是个有序域，即存在全序关系≥ ，对所有实数 x, y 和 z： Ⅲ 若 x ≥ y 则 x + z ≥ y + z； Ⅳ 若 x ≥ 0 且y ≥ 0 则 xy ≥ 0。 Ⅴ 集合 R 满足完备性，即任意 R 的有非空子集S，即S∈R，S≠?，若 S 在 R 内有上界，那么 S 在 R 内有上确界。最后一条是区分实数和有理数的关键。例如对于所有平方小于 2 的有理数的集合，它在有理数集内有上界，例如1.5；但在有理数集内无上确界（因为不是有理数）。实数通过上述性质唯一确定。更准确的说，给定任意两个有序域和，存在从到的唯一的域同构，即结构上两者可看作是相同的。性质编辑基本运算实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、乘方等，对非负数（即正数和0）还可以进行开方运算。实数加、减、乘、除（除数不为零）、平方后结果还是实数。任何实数都可以开奇次方，结果仍是实数，只有非负实数，才能开偶次方其结果还是实数。四则运算封闭性实数集R对加、减、乘、除（除数不为零）四则运算具有封闭性，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是实数。有序性实数集是有序的，即任意两个实数a、b必定满足并且只满足下列三个关系之一：ab。传递性实数大小具有传递性，即若a>b，且b>c，则有a>c。阿基米德性质实数具有阿基米德性质（Archimedean property），即?a，b ∈R，若a>0，则?正整数n，na>b。稠密性实数集R具有稠密性，即两个不相等的实数之间必有另一个实数，既有有理数，也有无理数. 数轴如果在一条直线（通常为水平直线）上确定O作为原点，指定一个方向为正方向（通常把指向右的方向规定为正方向），并规定一个单位长度，则称此直线为数轴。任一实数都对应与数轴上的唯一一个点；反之，数轴上的每一个点也都唯一的表示一个实数。于是，实数集R与数轴上的点有着一一对应的关系。完备性作为度量空间或一致空间，实数集合是个完备空间，它有以下性质：一. 所有实数的柯西序列都有一个实数极限。有理数集合就不是完备空间。例如，(1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) 是有理数的柯西序列，但没有有理数极限。实际上，它有个实数极限。实数是有理数的完备化——这亦是构造实数集合的一种方法。极限的存在是微积分的基础。实数的完备性等价于欧几里德几何的直线没有“空隙”。二. “完备的有序域” 实数集合通常被描述为“完备的有序域”，这可以几种解释。首先，有序域可以是完备格。然而，很容易发现没有有序域会是完备格。这是由于有序域没有最大元素（对任意元素z，z+1将更大）。所以，这里的“完备”不是完备格的意思。另外，有序域满足戴德金完备性，这在上述公理中已经定义。上述的唯一性也说明了这里的“完备”是指戴德金完备性的意思。这个完备性的意思非常接近采用戴德金分割来构造实数的方法，即从（有理数）有序域出发，通过标准的方法建立戴德金完备性。这两个完备性的概念都忽略了域的结构。然而，有序群（域是种特殊的群）可以定义一致空间，而一致空间又有完备空间的概念。上述完备性中所述的只是一个特例。（这里采用一致空间中的完备性概念，而不是相关的人们熟知的度量空间的完备性，这是由于度量空间的定义依赖于实数的性质。）当然，R 并不是唯一的一致完备的有序域，但它是唯一的一致完备的阿基米德域。实际上，“完备的阿基米德域”比“完备的有序域”更常见。可以证明，任意一致完备的阿基米德域必然是戴德金完备的（当然反之亦然）。这个完备性的意思非常接近采用柯西序列来构造实数的方法，即从（有理数）阿基米德域出发，通过标准的方法建立一致完备性。 “完备的阿基米德域”最早是由希尔伯特提出来的，他还想表达一些不同于上述的意思。他认为，实数构成了最大的阿基米德域，即所有其他的阿基米德域都是 R 的子域。这样 R 是“完备的”是指，在其中加入任何元素都将使它不再是阿基米德域。这个完备性的意思非常接近用超实数来构造实数的方法，即从某个包含所有（超实数）有序域的纯类出发，从其子域中找出最大的阿基米德域。高级性质实数集是不可数的，也就是说，实数的个数严格多于自然数的个数（尽管两者都是无穷大）。这一点，可以通过康托尔对角线方法证明。实际上，实数集的势为 2ω（请参见连续统的势），即自然数集的幂集的势。由于实数集中只有可数集个数的元素可能是代数数，绝大多数实数是超越数。实数集的子集中，不存在其势严格大于自然数集的势且严格小于实数集的势的集合，这就是连续统假设。事实上这假设独立于ZFC集合论，在ZFC集合论内既不能证明它，也不能推出其否定。所有非负实数的平方根属于R，但这对负数不成立。这表明R 上的序是由其代数结构确定的。而且，所有奇数次多项式至少有一个根属于 R。这两个性质使R成为实封闭域的最主要的实例。证明这一点就是对代数基本定理的证明的前半部分。实数集拥有一个规范的测度，即勒贝格测度。实数集的上确界公理用到了实数集的子集，这是一种二阶逻辑的陈述。不可能只采用一阶逻辑来刻画实数集：1. L?wenheim–Skolem theorem定理说明，存在一个实数集的可数稠密子集，它在一阶逻辑中正好满足和实数集自身完全相同的命题；2. 超实数的集合远远大于 R，但也同样满足和 R一样的一阶逻辑命题。满足和 R 一样的一阶逻辑命题的有序域称为 R 的非标准模型。这就是非标准分析的研究内容，在非标准模型中证明一阶逻辑命题（可能比在R中证明要简单一些），从而确定这些命题在R 中也成立。拓扑性质实数集构成一个度量空间：x 和 y 间的距离定为绝对值 |x - y|。作为一个全序集，它也具有序拓扑。这里，从度量和序关系得到的拓扑相同。实数集又是 1 维的可缩空间（所以也是连通空间）、局部紧致空间、可分空间、贝利空间。但实数集不是紧致空间。这些可以通过特定的性质来确定，例如，无限连续可分的序拓扑必须和实数集同胚。以下是实数的拓扑性质总览： i.令a 为一实数。a 的邻域是实数集中一个包括一段含有 a 的线段的子集。 ii.R 是可分空间。 iii.Q 在 R 中处处稠密。 iv.R的开集是开区间的联集。 v.R的紧子集是有界闭集。特别是：所有含端点的有限线段都是紧子集。 vi.每个R中的有界序列都有收敛子序列。 vii.R是连通且单连通的。 viii.R中的连通子集是线段、射线与R本身。由此性质可迅速导出中间值定理。望采纳，谢谢

8，常数有理数无理数实数的概念是什么

1、常数常数是指固定不变的数值。如圆的周长和直径的比π﹑铁的膨胀系数为0.000012等。常数是具有一定含义的名称，用于代替数字或字符串，其值从不改变。数学上常用大写的"C"来表示某一个常数。2、有理数有理数为整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。由于任何一个整数或分数都可以化为十进制循环小数，反之，每一个十进制循环小数也能化为整数或分数，因此，有理数也可以定义为十进制循环小数。3、无理数无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。见的无理数有：圆周长与其直径的比值，欧拉数e，黄金比例φ等等。4、实数实数，是有理数和无理数的总称。数学上，实数定义为与数轴上的实数，点相对应的数。实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。实数和虚数共同构成复数。实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类。实数集通常用黑正体字母 R 表示。R表示n维实数空间。实数是不可数的。实数是实数理论的核心研究对象。扩展资料实数的发展历史在公元前500年左右，以毕达哥拉斯为首的希腊数学家们认识到有理数在几何上不能满足需要，但毕达哥拉斯本身并不承认无理数的存在。直到17世纪，实数才在欧洲被广泛接受。18世纪，微积分学在实数的基础上发展起来。1871年，德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义。根据日常经验，有理数集在数轴上似乎是“稠密”的，于是古人一直认为用有理数即能满足测量上的实际需要。古希腊毕达哥拉斯学派的数学家发现，只使用有理数无法完全精确地表示这条对角线的长度，这彻底地打击了他们的数学理念，他们原以为：任何两条线段（的长度）的比，可以用自然数的比来表示。正因如此，毕达哥拉斯本人甚至有“万物皆数”的信念，这里的数是指自然数（1 , 2 , 3 ，...），而由自然数的比就得到所有正有理数，而有理数集存在“缝隙”这一事实，对当时很多数学家来说可谓极大的打击(见第一次数学危机)。从古希腊一直到17世纪，数学家们才慢慢接受无理数的存在，并把它和有理数平等地看作数；后来有虚数概念的引入，为加以区别而称作“实数”，意即“实在的数”。参考资料来源：搜狗百科-实数参考资料来源：搜狗百科-无理数参考资料来源：搜狗百科-有理数参考资料来源：搜狗百科-常数

常量中的取值我们叫常数（常量相对变量来说的，变量表示这个量是可以变的，常量表示这个量是恒定的，比如说标准大气压等等，它的取值就是一个常数），有些函数中某些给定的数也叫常数。有理数，在整数的基础上通过加减乘除得到的一切数我们都统称为有理数，由此你可以看出有理数包括了整数，并且它是最小的一个数域（数域就是表示对加减乘除封闭），因此，有理数一定可以用p/q的形式表示出来，其中p,q都是整数。无理数相对有理数来说的，它不能用p/q表示出来（p,q也为整数）。因此无理数一定是无限不循环小数。实数是有理数和无理数的统称，因此它包含着有理数。（你可以验证实数也是一个数域）以后你还会接触一个更大的数域——复数，它包含着实数。

常数就是常量，是恒定不变的数，多出现在函数中，例如函数y=2x中常数是2；实数有理数和无理数的总称，有理数指能表示为p/q，p、q为整数的数，即指有限小数或无限循环小数，例如：0,1,1/3；无理数指不能表示为p/q，p、q为整数的数，即指无限不循环小数，例如：e=2.71828……,兀=3.1415926……，根号2有理数与无理数总称为实数。而无理数则不然，从它的发现到它的严格定义，是曲折而漫长的。所以研究实数理论主要是研究无理数理论。到了19世纪70年代，著名的德国数学家外尔斯特拉斯 1815-1897 、康托尔 1845-1918 和法国的柯西 1789-1857 及戴德金 1831-1916 等都对实数理论进行了研究，获得了几种形异而实同的实数理论，其中以戴德金分割法 1872 ；康托尔的有理数「基本序列」法 1872 为最有代表性。上述两法与外尔斯特拉斯的实数理论合称实数理论的三大派。由极限理论可知，有极限的有理数列都应该是基本数列，例如若a为有理数，常数数列 a， a…， a，…… 当然是基本数列，它的极限就是a本身。对2进行开平方，可依次得出一列有限小数 1，1.4，1.41，1.414，1.4142，…… 也是一个基本数列，如果已经定义了实数的话，那么它的极限应该是，但是在尚未引进无理数，而只有有理数的情况下，上述基本数列是没有极限的。这就启示我们，把每一个「基本数列」当做一种新的「数」来看待，即凡是收敛于有理数a的基本数列，把它看作有理数a，凡不能收敛于有理数的基本数列，就把它看做新的「数」——无理数。从而把基本数列的全体可当做一个「数集」，称它为实数集。

常数 1.规定的数量与数字。 2.一定的规律。 3.一定之数或通常之数。 4.一定的次序。 5.数学名词。固定不变的数值。如圆的周长和直径的比(π)约为3.1416、铁的膨胀系数为0.000012等。常数是具有一定含义的名称，用于代替数字或字符串，其值从不改变。有理数整数和分数统称为有理数，任何一个有理数都可以写成分数m/n（m，n都是整数，且n≠0）的形式。无限不循环小数和开根开不尽的数叫无理数 ,比如π，3.1415926535897932384626...... 而有理数恰恰与它相反,整数和分数统称为有理数包括整数和通常所说的分数，此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数。这一定义在数的十进制和其他进位制（如二进制）下都适用。数学上，有理数是一个整数 a 和一个非零整数 b 的比(ratio)，通常写作 a/b，故又称作分数。希腊文称为 λογο? ，原意为“成比例的数”(rational number)，但中文翻译不恰当，逐渐变成“有道理的数”。不是有理数的实数遂称为无理数。所有有理数的集合表示为 Q，有理数的小数部分有限或为循环。有理数分为整数和分数整数又分为正整数、负整数和0 分数又分为正分数、负分数正整数和0又被称为自然数如3，-98.11，5.72727272……，7/22都是有理数。全体有理数构成一个集合，即有理数集，用粗体字母Q表示，较现代的一些数学书则用空心字母Q表示。无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数。如圆周率、2的平方根等。有理数是所有的分数，整数，它们都可以化成有限小数，或无限循环小数。如7/22等。实数（real munber)分为有理数和无理数(irrational number)。 ·无理数与有理数的区别： 1、把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，比如4=4.0, 4/5=0.8, 1/3=0.33333……而无理数只能写成无限不循环小数, 比如√2=1.414213562…………根据这一点,人们把无理数定义为无限不循环小数. 2、所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能。根据这一点，有人建议给无理数摘掉“无理”的帽子，把有理数改叫为“比数”，把无理数改叫为“非比数”。本来嘛，无理数并不是不讲道理，只是人们最初对它不太了解罢了。利用有理数和无理数的主要区别，可以证明√2是无理数。证明：假设√2不是无理数，而是有理数。既然√2是有理数，它必然可以写成两个整数之比的形式： √2=p/q 又由于p和q没有公因数可以约去，所以可以认为p/q 为既约分数,即最简分数形式。把 √2=p/q 两边平方得 2=(p^2)/(q^2) 即 2(q^2)=p^2 由于2q^2是偶数，p 必定为偶数，设p=2m 由 2(q^2)=4(m^2) 得 q^2=2m^2 同理q必然也为偶数，设q=2n 既然p和q都是偶数，他们必定有公因数2，这与前面假设p/q是既约分数矛盾。这个矛盾是有假设√2是有理数引起的。因此√2是无理数。实数包括有理数和无理数。其中无理数就是无限不循环小数，有理数就包括整数和分数。数学上，实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。本来实数仅称作数，后来引入了虚数概念，原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”。实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，或正数，负数和零三类。实数集合通常用字母 R 或 R^n 表示。而 R^n 表示 n 维实数空间。实数是不可数的。实数是实分析的核心研究对象。实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后 n 位，n 为正整数）。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。 ①相反数（只有符号不同的两个数，我们就说其中一个是另一个的相反数）实数a的相反数是-a ②绝对值（在数轴上一个数所对应的点与原点0的距离）实数a的绝对值是： |a|= ①a为正数时，|a|=a ②a为0时， |a|=0 ③a为负数时，|a|=-a ③倒数（两个实数的乘积是1，则这两个数互为倒数）实数a的倒数是：1/a （a≠0）详细还是看百度百科吧http://baike.baidu.com/view/122755.htmhttp://baike.baidu.com/view/122755.htmhttp://baike.baidu.com/view/1197.htmhttp://baike.baidu.com/view/1167.htm

实数：你现在见过的所有的数都可以称之为实数，但凡一个数里面出现了 i 这个字母，那么这个数便不是实数。1、8、-900、45.97、√3、π等等~ 有理数：化简以后没有根号的数就是有理数(根号4、9、16、25等等是可以化简的)。1.3、68、70.9023都是有理数。整数：没有小数点，或者根号或者分数线的就是整数。-1、-5、-8、6、0、1000等等都是整数。自然数：整数的一部分，0、1、2、3、4、5、6……都是自然数。分数：只要不是整数的有理数就都可以称之为分数(小数)，所以你所提出的所有的那些数都是分数~

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