所以，诸如“自然数全体”这样的概念是没有意义的。(2) 对数学所用的逻辑的观点。布劳威尔对数学对象的观点直接导出了他对数学所用的逻辑观点；认为“ 逻辑不是发现真理的绝对可靠的工具” ，并认为，在真正的数学证明中不能使用排中律，因为排中律和其他经典逻辑规律是从有穷集抽象出来的规律，因此不能无限制的使用到无穷集上去。
同样不能使用反证法。直觉主义对20 世纪数学的发展产生很大的影响。本世纪30 年代以后，由于哥德尔的工作，许多数学家开始重视直觉主义。数学家们纷纷尝试用构造法建立实数理论、数学分析以至全部数学，得出不少重要结果。构造性数学已经成为数学科学中一个重要的数学学科群体，与计算机科学密切相关。1967 年，美国数学家毕肖普完成并出版《构造性分析》一书，开始了直觉主义学派的构造主义时期。
有数学家反对对无穷集合使用排中律,一场持久战1908 年，布劳威尔写出了一篇名为《关于逻辑原理的不可靠性》，这篇论文认为运用排中律的数学证明是不合理的。排中律是一个基本的逻辑定律，也是一个常用的数学技巧，指每一个数学命题要么对，要么错，没有其他可能性。布劳威尔不认同，他坚持认为第三种情况是存在的。1912 年，在阿姆斯特丹大学的数学教授就职演说上，布劳威尔进一步探讨了他认为与这个“定律”有联系的问题。
他经常质疑建立在排中律基础上的数学证明，称他们是“所谓的证明”。1920 年，他声称“将排中律用作数学证明的一部分，是不允许的……它只具有学理和启发的价值，因此那些在证明中不可避免使用这个定律是缺乏数学内涵的。”后来希尔伯特实在忍无可忍，回应道：“把排中律排除在数学之外，就像禁止拳手使用拳头。”希尔伯特是在 23 岁时以一篇关于不变量理论的论文挤身数学界的，在这篇论文中，它使用了非构造性的证明，而他的证明正是依赖于对无穷的对象使用排中律。
1917 年至 1920 年，布劳威尔开始进一步发展他的直觉主义观点，包括沿着直觉主义思路发展集合论。在 1919 年的《直觉主义的集合论》，布劳威尔指出他早期的拓扑学研究从直觉主义观点来看是不正确的。拓扑学 (topology) 是研究几何图形或空间在连续改变形状后还能保持不变的一些性质的学科，它只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的形状和大小。
在大约 1920 年后，他向外界发布了这些成果，这显然是对希尔伯特的挑战。康托创立集合论，是基于解决微积分的逻辑基础问题，为了使微积分里面采用的无穷小概念有一个清晰的逻辑基础。希尔伯特热忱地支持康托的集合论与无限数，他认为，为了加强数学的基础，支持康托的观念将是必要的。而且希尔伯特在数学领域所做出的最具影响的贡献还是著名的几何基础和“23 个数学问题”，这里面都涉及到了拓扑学。
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