为什么ZF公理系统要包含空集定理？
所谓，空集定理，就是：空集公理：存在一个不含任何元素的集合，即，∃X∀u(u ∉ X)根据 ZFC 公理体系中的，(1) 外延公理（Axiom of Extensionality)：如果 X 和 Y 拥有相同的 元素，则 X 与 Y 相等，即，∀u(u ∈ X ↔ u ∈ X) → X = Y我们可确定 所有 空集合 都相等，也就是说 空集 唯一，我们将这个唯一的空集 记为 ∅。
为什么说，空集公理 是 空集定理 呢？因为 它可以 从存在公理：存在一个集合，即，∃X(X = X)推导出来。利用 ZFC 公理体系中的，(3) 分离公理模式（Axiom Schema of Separation）： 如果 P 是一个 属性，则 对于任意 X 都存在 集合 Y 包含 所有 具有 属性 P 的 X 的元素，即，∀X∃Y∀u(u ∈ Y ↔ u ∈ X ∧ P(u))令，Y = {u ∈ X : P(u)}。
只需要令，P(x) := x ≠ x，其中 x ≠ x ↔ ¬(x = x)，“=” 来自 外延公理，则：∅ = {u ∈ X : u ≠ u}首先，存在公理 确保了 X 的存在，其次 在 外延公理 下 所有 u 一定等于 自己，和自己不相等的 u 不存在，于是 u ≠ u 是永假的，故，∅ 不可能 含有任意元素，即，∅ 满足 空集公理。
反过来，空集公理 确定了 空集 ∅ 的存在，根据 外延公理 有， ∃∅(∅ = ∅) ，这就推导出来了，存在公理。所以说： 空集公理 与 存在公理 在 ZFC 公理体系中 等价，二者定义其一即可！佛曰：空既是色，色即是空；道曰：有无相生，此两者同出而异名，同谓之玄！ZFC公理系统并没有直接包含，空集公理（或 存在公理），而是作为(6) 无限公理（Axiom of Infinity）：无限集合存在。
的一部分，而引入 ZFC 的。具体来说：要定义无限集合 S，就先要有一个有限集合，无疑 空集 ∅ 是最好的选择，规定：∅ ∈ S然后，利用 ZFC公理系统 中的，(2) 结对公理（Axiom of Pairing）：对于任意 a 和 b 都存在 集合 {a， b} 恰好包括 a 和 b，即，∀a∀b∃c∀x(x ∈ c ↔ x = a ∨ x = b)根据 外延公理， c 是唯一的，称为 无序对，记为，c = {a， b}，特别地， x 和 自己 的 无序对 是 单元素集 {x}。
(3) 并公理（Axiom of Union)：任何集合 X 中所有的元素的并集 Y = ∪X 都存在，即，∀X∃Y∀u(u ∈ Y ↔ ∀z(z ∈ X ∧ u ∈ z))令，Y = {u : ∀z(z ∈ X ∧ u ∈ z) } = ∪{z : z ∈ X } = ∪X。可以定义 集合 a, b 的 并运算：a ∪ b = ∪{a, b}再根据 并运算，定义 集合 x 的后继运算：x⁺ = x ∪ {x}接着，规定：∀x(x ∈ S → x⁺ ∈ S)称 同时满足 以上 两个 规定 的 集合 S 为 归纳集。
显然，归纳集 是 无限集合，于是，无穷公理 就改写为：存在一个归纳集，即，∃S(∅ ∈ S ∧ ∀x(x ∈ S → x⁺ ∈ S))这样，∅ 是 归纳集 的第一个元素，无穷公理 已经就蕴含了 空集公理（或 存在公理）。[这里也就回答了题主的问题]无限公理 仅仅是 保证了 归纳集 的 存在性，我们并不能确定 归纳集 唯一，事实上，存在无限多个归纳集。
令，φ(x) = x 是归纳集根据 分离公理模式，我们定义：ω = {x ∈ S : ∀A(φ(A) → x ∈ A)}称 这个最小的 归纳集 ω 为 自然数集。（以下是小石头夹带的私货，不喜勿入！）在集合论发展之初，原本只有两个条公理，除了 (1) 外延公理 外，就是：(伪2) 推导公理模式（Axiom Schema of Comprehension)：对于任何 属性 P 都存在 集合 Y = {x : P(x)}。
(伪2) 和 (1) 分别对应 哲学中 一个概念 的 内涵 和 外延。本来一切都很美好，直到 罗素发现了，罗素悖论：Y = {X : X ∉ X}这里的 Y 显然 不是一个 集合。罗素悖论的通俗版就是 理发师悖论：一位理发师声称：“我只为不给自己刮脸的人刮脸！” ，那么 他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸；如果他给自己刮脸，他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸！他给不给自己刮脸都会产生矛盾！于是，数理逻辑学家 不得不 用 ZFC 公理中的 (2) - (9) 替换 (伪2)，这才产生了今天的《公理集合论》。
另一方面，值得注意的是：(伪2) 中 的 Y 作为以 P 为内涵的 概念是 实实在在存在，我们不能否认，只不过 Y 不一定 是 集合（set），我们称之为 类（class），并 将 (伪2) 改为：(0) 概括原则：对于任何 P 都存在 类 Y = {x : P(x)}这个 (0) 作为 类的定义 被 《公理集合论》采用，但 不算是 ZFC 公理，这有点灰色地带的意味！。
NASA与休斯顿公司Axiom Space公司将在哪些方面展开合作？
美国宇航局（NASA）本周宣布了一项官方计划，将在国际空间站增加一个轨道联合工作空间。NASA周一表示，已选择休斯顿公司Axiom Space公司为其提供首批可安装到国际空间站的可居住商业模块。 近年来，NASA一直致力于使太空商业化以及所谓的“近地轨道经济”。NASA局长吉姆·布莱登斯汀在一份新闻稿中表示： “Axiom致力于发展太空商业目的地的工作，对于NASA满足其对低地球轨道的宇航员培训、科学研究和技术演示的长期需求而言，这是至关重要的一步。
”因此，NASA和其他国家的航天机构很可能是Axiom的第一批客户。该公司由前国际空间站项目经理Michael Suffredini经营。它将提供至少一个连接到国际空间站Node 2的前向端口的元素，该节点已被用作公用事业枢纽和宇航员的睡眠区。Axiom的计划是提供一个通往太空的新商业门户，使研究人员、制造商和富有的游客以及其他人有机会前往太空。
虽然其雄心壮志始于将人员送往国际空间站及其附属模块，但该公司的长期目标是使这些模块最终脱离并成为公司私人独立空间站的一部分。Suffredini上个月在《Elite Traveler 》的一篇文章中写道：“我们才刚刚开始意识到多年来（低地球轨道）研究的成果，现在可以概念化微重力制造所提供的可能性，例如优质药物、3D打印的人体器官、高性能光纤电缆以及超级合金等。
文章TAG：AXIOM Interface
