欧氏空间中的切向量与方向导数有关，而流形上的函数仍然具有方向导数，这启发了我们定义流形上的切向量。为了理解切空间，我们首先要知道什么是切向量。进一步可以知道，P点的切空间的维数与流形的维数相同，有一个自然定义的基:直观地说，切空间是流形在一点的线性化，是包含这个点的最简单的空间。借助于这种“简单性”，我们可以更多地了解流形本身的性质，如果与欧洲空间相比较，这是很容易想象的。
线性代数好学吗？
1：我本人并不擅长代数，所以当年花费了不少功夫学习线性代数底层知识，刷了不少题，算是在线性代数方面身X百战了。今看到知乎上真正针对本科低年级的代数文章太少了，勉强写一写，算是新年礼物吧。限于本人代数水平有限，文章不妥之处难免。补充：可能我推荐的资料对大部分人来说偏难，所以圈定目标读者群体为985院校理工科生吧。
看到知乎上很多大一新生学习线性代数很辛苦，即然有缘，作为一名掌（xue）者（zhang），有必要给学弟学妹们和其他读者分享一点人生的经验，相信本文也适合大二大三本科生。注2:知乎上有些人试图去认识线性代数所谓本质，为此似乎分出两派。一类是过度直观派，以工科生为主，默认的本质“定义”似乎就是几何直观。另一类以数学系抽象派为主，他们更倾向于从Abel群甚至模的角度理解线性代数本质。
我在这里不想探讨谁更本质，只想谈谈这些年与线性代数打交道的体会，我认为线性代数是一种具体语言，而不是抽象语言，而语言必须附着于具体载体才有价值（比如社会领域的语言与文化）。简言之，把一个应用的或抽象的问题最后化简到用线性代数语言来讨论。有限元法在实际应用中，最后化简为解大规模线性方程组（自然交给计算机），其它计算类工程问题也类似。
而在所谓纯数学领域，比如微分拓扑里的Donaldson对角化定理，可以说属于四维流形上的二次型理论。最后把膜空间转换，号差协边不变性等化归到讨论正定矩阵对角化问题上---到这一层面相当于工科大一线性代数水平。虽然有争议，但在个人来看，真正体会到线性代数的深刻性只有放到具体问题中，而不是什么几何直观，膜之类。
以上讨论太哲学化，还是说些具体的吧。先说三件事：1、线性代数本身入手难。线性代数有着现代数学主流典型的抽象化和公理化痕迹，但适应其膜式之后会发现其套路并不复杂，可这个过程一般至少需要一年。想学的深一些、透彻一些则可看看蓝以中的《高等代数简明教程》和《线性代数应该这样学》，这两本书是公认的国内线性代数中文好教材。
前边两本属于soft风格线代教材，而喜欢啃硬线性代数风格教材的同学则可以看下本书：2、线性代数应用范围超出新手们的想象，即使限制在数学领域。这方面可以参考我的知乎文章《线性代数在数学领域中的一些微小应用例子》知乎专栏，例子范围从高中立体几何的异面直线夹角到微分拓扑的Donaldson对角化定理。体现了线性代数语言与思想的深刻性。
写这篇文章是为了纠正一些偏好所谓纯数学的新手对线性代数的偏见，在思想上告诉他们为什么线性代数这样红。注3：插一个八卦，下图中四维流形上的二次型理论的Donaldson对角化定理是D在25岁读博二期间证明的，四年后，D凭借该定理荣获1986年菲尔兹奖，当年D的获奖年龄为29岁。可以看出，定理最后化简成线性代数问题。
3、从应试角度讲，想考高分，做一些质量高的试题，看一些高质量辅助教材很重要。对此给出一个可操作性方法：a读书，推荐一本线性代数辅助读本《高等代数.定理.问题.方法》（这是一本牛书，工科的可把多项式那部分pass）。B站有些线性代数国外公开课视频和考研线性代数讲座视频也是可以看看的。b做题。本校历年期末考试题必做，此外建议把最近十年考研数学一和数学三中的线性代数大题系统做一遍，约40道试题。
若能做到上述内容，线性代数上90分斯斯碎。如果你是数学系的本科生，则可以做做北大科大南开浙大它们的高等代数研究生考试题。如果你是题霸的话，可以鼓起勇气去刷丘维声那两本砖头高代习题集（可以当作高代字典），丘爷爷的这本高代习题集可是与数分中的裴礼文习题集齐名。当然了，下面说点非主流的次要的话。对于想把线性代数学得透彻的，肯定要进入高等代数领域，其实两者差别纯粹人为划分（美苏）。
除了前边推荐的著名辅助读本《高等代数.定理.问题.方法》外，再补充推荐一本网友xida写的《高等代数葵花宝典》电子书（好像有N个版本），相当于一本高代学习笔记。作者是隔壁数院的一位助教，这是他在宝典里写的番外话：我想，每个喜欢数学的人总会碰见几个类似蓝明月那样的喜欢数学的女孩吧。当然，这跑题了，还是谈谈宝典吧。
怎样理解切空间？
切空间是在某一点所有的切向量组成的线性空间。切空间是微分流形在一点处所决定的向量空间，是欧氏空间中光滑曲线的切线、光滑曲面的切平面的推广。为了理解切空间，首先要清楚什么是切向量。欧式空间中的切向量很直观，完全可以想象得出来，但对于更一般的流形而言，这样直观的切向量已经不复存在，所以必须要重新定义出与欧式空间中切向量相容的切向量。
欧式空间中的切向量联系着方向导数，而流形上函数仍然有方向导数，这就启发了我们去定义流形上的切向量。把流形上的函数f(x)限制在光滑曲线x(t)上，那么函数成为f(x(t))，此时函数沿曲线在p点的方向导数为在p点选取局部坐标系x=(x1,⋯,xn)，那么上式可以表示成此时将微分算子Xp定义作在p点的切向量，这样就符合了切向量和方向导数的关系，也符合了切向量的含义，而且与欧式空间中切向量相符。
那么受此启发，可以将流形上在p点的切向量直接定义成具有线性性和莱布尼茨性质的映射v:而在p点的所有切向量便构成了p点的切空间，这与欧式空间相同。进一步可知，p点处的切空间维数与流形的维数相同，而且有自然定义的基底:直观一点来说，切空间就是流形在一点的线性化，是包含此点最简单的空间，借助这一“简单”，便可以过得更多关于流形本身的性质，对比一下欧式空间的话，这些是很好想像的。
线性代数有什么用？
线性代数是处理矩阵和向量空间的数学分支，在现代科学的各个领域都有应用。计算机程序与解方程组举个较为简单例子，线性方程组的解集可以由计算机程序解得。计算机程序在求取线性方程组的解集时，常用方法为回代法，先写出线性方程组的增广矩阵，再化为行阶梯形，求出最后一行的未知数的解，然后向上一一求解。浮点运算于计算机中的应用当然，解集的精确度是由浮点来确定的。
玩游戏时，不同的电脑可能会影响击杀敌人的准确性，这是因为浮点的不同。这是线性代数在计算机领域的一个应用。当然，应用不限于这些方面。如果你有兴趣学习数学，你会意识到线性代数在实际应用中的重要作用。如果你对线性代数感兴趣，想了解一下，我想推荐一本教材《线性代数及其应用》，作者是美国马里兰大学的数学教授大卫·c·雷。这本书没有国内高校的数学教材那么苦。它形象、简单、易懂，紧密结合了计算机和工程的实际应用。它既适合专业应用，也适合业余爱好者。
文章TAG：无穷小 流形 线性 连续性
