《古今数学思想》书中 (第四册58页) 指出：集合论里的中心难点是无穷集合这个概念本身，从希腊时代以来，这样的集合很自然地引起数学界与哲学界的注意，而这种集合的本质以及看来是矛盾的性质，使得对这种集合的理解，没有任何进展，Zenode的悖论可能是难点的第一个迹象，既不是直线的无限可分性，也不是直线作为一个由离散的点构成的无穷集合，足以对运动作出合理的结论。
Aristotle（亚里士多德）考虑过无穷集合，例如整数集合，但他不承认一个无穷集合可以作为固定的整体而存在，对他来说，集合只能是潜在地无穷。《古今数学思想》第四册（116页）书中又说：“我们注意到，在过去曾经精力旺盛地热情地从事过的许多领域，曾被它们的拥护者誉为数学的精髓所在，其实只不过是一时的爱好，或者在整个数学的征途上只留下少许的影响。
（二十世纪）上半世纪有信心的数学家们可能会认为他们的工作是最重要的，然而，他们的贡献在数学史上的地位，现在还是不能确定的，等语言，”。罗素悖论、 康托尔悖论、数学基础的“三大数学流派：《古今数学思想》书中 (第四册289页) 指出：二十世纪数学中最为深入的活动，使关于基础的探讨，强加于数学家的问题，以及他们自愿承担的问题，不仅牵涉到数学的本质，也牵涉到演绎数学的正确性。
在这世纪的前期，有几种活动汇合起来把基础问题引到一个高潮，首先是矛盾的发现，委婉地被称为悖论，在集合论中尤为突出。……。《古今数学思想》书中 (第四册290页) 指出：“理发师的悖论”，罗素在1918年把一个悖论通俗化成为“理发师悖论”，一个乡村理发师，自夸无人可与相比，宣称他当然不给自己刮脸的人刮脸，但却给所有自己不刮脸的人刮脸，一天他发生了疑问，他是否应当给自己刮脸，假如他自己刮脸的话，则按他声言的前一半，他就不应当给自己刮脸；但是假如他自己不刮脸的话，则照他自夸的，他又必须给自己刮脸，这理发师陷入了逻辑的窘境。
《古今数学思想》书中 (第四册291～292页) 指出： 康托尔在1899年给戴金的一封信中曾指出，人们要想不陷入矛盾的话就不能谈论由一切集合所组成的集合（第41章第9节），实质上这就是罗素的悖论的内容（《数学原理》），由一切人组成的类不是一个人，但由一切概念组成的类却是一个概念；有一切图书馆组成的类是一个图书馆；由一切基数大于1的集合组成的类也是这样一个集合。
因此，有一些类不是它们自己的元素，而有一些则是它们自己的元素。这个对于类的描述，包括了一切类，并且这两种类型是互相排斥的，我们用M表示一切包含自己为元素的那些类所组成的类，用N表示一切不包含自己为元素的那些类所组成的类，现在，N本身也是一个类，我们要问它是属于M还是属于N？若N属于N，则N就是它自己的一个元素，因而又必须属于M，另一方面，若N为M的一个元素，则因M和N是互相排斥的类，N就不会属于N，于是N不是它自己的元素，因而由于N的定义，它应当属于N。
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