所有这些悖论的起因，如罗素和怀特海指出的，都在于一个要定义的东西是用包含着这个东西在内一类东西来定义的，这种定义也称为说不清的，特别发生在集合论中，策梅罗在1908年曾指出，一组数的下界的定义，以及分析中其它一些概念的定义，都是这种类型的定义，因此经典分析包含着悖论。《古今数学思想》书中 (第四册292页) 指出：康托尔关于实数集合不可数的证明（第41章第7节）也用到了这样一个说不清的集合，假定在所有正整数组成的集合与所有实数组成的集合M之间有一个一一对应，而每一个实数又对应于一组整数，于是每一个整数k都对应着一个集合f(k),而f(k)或是包含k或是不包含k，N为所有那些使k不属于f(k)的k所组成的集合，这个集合N（取某一顺序）为一个实数，因而，按假定的一一对应就应该有一个整数n对应于N，若n属于N，则按N的定义，它将不属于N；若n不属于N，则按N的定义，它又应属于N，集合N的定义是说不清的，这是因为要k属于N，必须且只需在M中有一个集合K使K=f(k)并且k不属于K,这样，在定义N时就用到了一些集合的全体M，它包含着N作为元素，这就是说要定义N，N必须已经包含在M中。
在无意中陷入了引进说不清的定义的陷阱，这是很容易的。……。《古今数学思想》第四册（320~321页）书中又指出：“不完备性的不足之处就在于，形式系统还不足以用来证明所有在系统中可以作出的判断。损伤更兼屈辱，系统中存在着这样的判断，它们是不可断定的但在直观上又是真的，等语句，因为哥得尔证明了，包括着数论的任何系统都必定含有不可断定的命题。
这样，尽管布劳维已经弄清楚了，直观上明确的东西不及数学上证明了的东西多；哥德尔却证明了，直观的正确会超过数学的证明，”等语句《古今数学思想》书中 (第四册322~323页) 指出：“对于数学基础的根本问题所提出的解答——（康托尔、等等先生的）经典集合论公理化，（罗素、怀特海）逻辑主义、（克罗内克、布劳维）直觉主义、（希尔伯特）形式主义——都没有达到目的，没有对数学提供一个可以普遍接受的径。
在哥德尔1931年的工作以后的发展，也没有在实质上改变这种状况，…；该途书中又指出：韦尔对数学的现状作了恰当的描述：关于数学最终基础和最终意义的问题还是没有解决，我们不知道向哪里去找它的最后解答，…”,这就谁是数学基础的现状。《古今数学思想》书中 (第四册323~324页) 指出：1930年以后的全部发展还留下来两个没有解决的大问题：去证明不加限制的经典分析与集合论的相容性，以及在严格直观的根基上去建立数学，或者去确定这种途径的限度，在这两个问题中，困难的根源都在于无穷集合和无限程序中所用到的无穷这个概念，即使对于希腊人也应经在无理数上造成了问题，而且他们在穷竭法中躲开它。
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